폭과 높이를 입력하여 현수선을 작성하고 현수선의 선택된 지점들의 높이를 표시합니다.
개요
본 프로그램은 주어진 폭과 높이에 따라 현수선을 작성하고 선택한 지점들의 높이를 표시합니다.
현수선(懸垂線, Catenary)은 물리학과 기하학에서, 밀도가 균일한 사슬이나 케이블 따위가 양끝 부분만이 고정되어 그 자체 무게만으로 드리워져 있을 때 나타나는 곡선입니다. 쌍곡코사인 함수로 나타낼 수 있으며, 수학적으로는 다르지만 포물선과 비슷해보여 혼동될 수 있습니다. 현수선 아치는 현수선을 뒤집은 모양으로 설계하여 모든 하중이 압축 응력으로만 작용하게 만든 구조물인데, 이러한 물리학적 정의에 근거하면 현수선 모양으로 아치를 만들었을 때 인장 응력이 발생하지 않고 가장 견고합니다 ( Wikipedia 에서 설명 발췌 및 수정 ).
아래는 현수선을 이용한 여러가지 예제 사진입니다.
( https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary 에서 발췌 )
여러가지 쓰임새를 고려하여, 현수선의 폭을 1/2n 으로 나누었을 때 각 지점들의 높이를 표시할 수 있도록 하였습니다. 결과 화면은 기본 그래프 화면과 더불어 PDF 및 범용CAD파일( AutoCAD 등 모든 CAD 프로그램에서 사용할 수 있는 파일, 확장자 : .dxf )로 출력할 수 있습니다.
현수선은 현수선의 방정식에 따라 작성할 수 있으며 직교좌표에서 현수선의 방정식은 식(1)과 같은 형태를 가집니다.
여기서 cosh는 쌍곡코사인함수이며, a는 현수 곡선의 휨 정도를 나타내는 파라미터입니다. 위의 식을 이용하여 실제로 현수선의 폭과 정점의 높이를 입력하여 현수선을 작성하기 위해서는 식(1)을 변환해야 하는데, 높이가 같은 두 지점 P1, P2가 있을때 식(1)은 아래의 식(2)와 같이 변환됩니다.
여기서 arcosh는 역쌍곡코사인 함수이며, W는 P1, P2의 수평 거리로서 현수선의 폭에 해당하고, H는 현수선 정점의 높이(P1=P2와의 높이 차이)입니다.
여기까지는 일반적인 수학적 내용입니다만, 현수선 방정식은 방정식을 a에 대해서 정리할 수 없다는 커다란 문제점을 가지고 있습니다. 즉, W와 H를 입력해서 a를 구하면 현수선을 작성할 수 있으므로 a를 찾아내는 것이 핵심인데 현수선 방정식은 a = ...W...H... 의 형태로 변환할 수가 없다는 것입니다(저의 수학 실력이 부족해서 일 수도 있습니다. 혹시 식변환을 아시는 분은 연락 부탁 드립니다). 따라서 이 문제를 해결하기 위해서는 어쩔 수 없이 귀납적 계산에 의존할 수 밖에 없습니다.
아래는 귀납적 방법에 의한 본 프로그램의 계산 과정입니다.
희망하는 현수선의 폭과 높이 H로부터 적절한 a의 시작값을 구한다.
a를 시작값에서부터 0.0001씩 증가시키면서 최대 9,000,000번 반복계산하여, 희망하는 현수선의 폭과 식(2)의 W와의 오차가 0.001 보다 작은 a값을 찾는다.
위에서 찾은 a값을 넣었을 때의 W값을 구한다.
위에서 찾은 W, a와 H값 및 식(2)를 이용하여 그래프를 그린다..
이러한 순서로 계산하게 됩니다. 즉, 본 프로그램에서 얻은 결과인 a값은 최대 0.001의 오차를 가지며 그에 따라 W값도 아주 작은 오차를 가지게 됩니다. 또한 숫자에 따라 몇 만번 이상의 계산을 반복하므로 계산에 시간이 많이 걸립니다. 그러나 최근 고속화 프로세스를 적용하여 지금은 거의 순식간에 계산을 마칠 수 있도록 개량하였습니다.
용도
현수선이 필요한 모든 곳에 사용할 수 있습니다. 저의 경우는 바이올린 베이스바의 초기 형태(베이스바의 각 지점의 높이)를 정할 때 사용합니다 ( 바이올린 베이스바 작업시 현수선을 사용하는 방법에 대해서는 차후에 리포팅 할 예정입니다 ). 첼로의 베이스바 작업시에도 사용할 수 있도록 계산 가능한 현수선의 폭을 600으로 정했습니다.
인스톨
본 프로그램은 포터블 버전이므로 별도의 설치작업은 필요없습니다.
압축을 풀고 'Catenary_Curve_Generator_v.X.X.X' 폴더에 있는 'Catenary_Curve_Generator_v.X.X.X.exe' 파일을 더블클릭하면 바로 프로그램이 실행됩니다. 단, 컴퓨터의 사양에 따라 실행에 시간이 오래 걸리는 경우가 있습니다.
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