Scopri i vantaggi e i metodi di applicazione dell'utilizzo della curva multiclosoide nel disegno di violini e verifica la sua fattibilità creando un programma di automazione.
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Ci sono tre modi principali per disegnare la linea del corpo del violino. Il primo è imitare le linee di altri strumenti così come sono, e il secondo è imitare le linee di altri strumenti e poi modificare solo le parti che vuoi. I due metodi di cui sopra sono molto buoni in termini di praticità e velocità di lavoro, quindi sono i metodi più attualmente utilizzati dai liutai. Il terzo è progettare il tuo. Questo metodo è significativo in quanto puoi ottenere la linea che desideri ed è il tuo modello unico, ma questo metodo è difficile e complicato e richiede molto sforzo per ottenere risultati soddisfacenti.
È molto importante progettare il modello da soli in termini di comprensione dello strumento. Nel processo di disegno di te stesso, arrivi a comprendere vari problemi che non potresti capire quando copi il modello di un altro strumento così com'è, e ci sono anche molti casi in cui impari perché il vecchio violino doveva essere progettato in quel modo.
Personalmente, penso che non avere il mio modello significhi rinunciare a "liutaio" e percorrere la strada della "copiatrice", quindi penso che dovrebbe esserci un modello disegnato da me dall'inizio alla fine che contenga solo i miei pensieri. Anche se ho leggermente modificato le linee di altri strumenti, posso dire che sono i miei modelli, ma se possibile sarebbe meglio progettarli io stesso dall'inizio alla fine.
Mentre studiavo il disegno, ho provato tutti i metodi esistenti, ma tutti hanno avuto dei problemi, quindi è stato difficile usarli nel lavoro vero e proprio. Un problema comune è che è troppo complesso per essere difficile ed è anche difficile modificare solo una parte del disegno dopo che è stato completato. Ma quello che penso sia il problema più grande è che (in termini matematici) c'è un punto di discontinuità sulla curva. In poche parole, la curva non è liscia. Inoltre, c'è il problema che la forma della curva non può più essere modificata se le dimensioni e la larghezza dello strumento sono le stesse. In altre parole, tutti i modelli della stessa dimensione devono avere la stessa forma. Per risolvere questi problemi, ho provato a sviluppare un programma di automazione utilizzando la curva clotoide. Tuttavia, dopo circa 10 anni senza alcun progresso a causa di diversi problemi chiave, ho finalmente completato il programma di automazione.
In questo rapporto, esaminiamo brevemente i metodi esistenti per il disegno di un modello di violino ed esaminiamo i problemi di tali metodi. E, per risolvere questo problema, impareremo la curva clotoide da utilizzare e come applicarla al disegno del violino. Infine, riassumerò punti importanti sul programma per automatizzare queste attività di disegno. Il programma di automazione del disegno del violino verrà pubblicato separatamente in seguito insieme al manuale utente.
1. Metodi e Problemi di Disegno del Violino Esistenti
1.1. Metodi e Caratteristiche di Disegno Esistenti
Attualmente sono noti circa cinque metodi per progettare un violino. Il metodo di Sacconi, Navne, Pigoli è un po' più antico, e il metodo di Francois Denis sembra farsi notare di recente. Il metodo di Pigoli è anche il metodo che personalmente consiglio perché utilizza una curva a spirale. Il metodo di Denis è un metodo eccellente in quanto consente il disegno relativamente libera di vari modelli modificando alcuni parametri ed è più semplice di altri metodi.
Infine, il metodo di Sergei Muratov è molto simile al contenuto di questo rapporto in quanto utilizza una curva clotoide. Penso che questo metodo sia il più simile alla linea di strumenti effettiva tra i metodi sopra. Tuttavia, è impossibile disegnare con un righello e un compasso e, quando si utilizza un programma CAD, è un metodo difficile da realizzare a meno che non siano supportate eccellenti capacità di programmazione.
1.2. Problemi Comuni dei Metodi di Disegno Esistenti
⃝ Processo di disegno complesso e difficile
Tutti i cinque metodi di disegno sopra indicati non sono facili quando si disegna a mano utilizzando un righello e un compasso o si disegna utilizzando un programma CAD. Il processo di disegno è complicato, quindi è difficile seguire ogni passaggio mentre si guarda il libro di testo.
⃝ Difficoltà delle modifiche parziali dopo il completamento del disegno
Il disegno dello strumento non può ottenere risultati soddisfacenti in un unico passaggio. Quando crei per la prima volta uno strumento con un disegno finito, molto probabilmente dovrai rivedere parte del design. In questo modo, se si desidera modificare solo una parte del disegno finito, è necessario quasi lo stesso livello di impegno di un nuovo disegno a causa del complicato processo di disegno.
⃝ Difficoltà a modificare le linee in modelli della stessa dimensione
Ad esempio, nel caso della curva C, è impossibile modificare la curva di C in varie forme senza modificare la posizione del punto più stretto di C e la posizione della punta superiore/inferiore. Questo perché, nei cinque metodi precedenti, se le posizioni dei punti sono le stesse e le posizioni (o dimensioni) di altri punti correlati sono le stesse, la curva di C può formare solo una curva.
⃝ Esistenza di punti di discontinuità e curve innaturali
La curva del violino reale è la curva del mondo reale, mentre la curva disegnata con i metodi di cui sopra (ad eccezione del metodo che utilizza la curva clotoide) può essere chiamata "la curva del mondo ideale". In altre parole, significa che è una curva che non esiste o non può esistere nella realtà.
Ad esempio, i metodi precedenti (tranne il metodo che utilizza la curva clotoide) hanno in comune il completamento della curva concatenando archi di raggi diversi. Cioè, l'arco di raggio b è collegato all'estremità dell'arco di raggio a e l'arco di raggio c è nuovamente collegato all'estremità. Tuttavia, tali curve non esistono nel mondo reale. Una curva nel mondo reale in cui viviamo non cambia mai istantaneamente il suo raggio da 'a' a 'b' o da 'b' a 'c' in nessun punto. In matematica, un tale punto è chiamato "punto di discontinuità", ma non può esserci un tale punto di discontinuità nella curva del mondo reale in cui viviamo. Anche se non segui i principi matematici, se guardi attentamente la curva, puoi sentire che la connessione non è regolare nel punto in cui due archi si connettono.
Figure 1 è un esempio di C disegnato con i metodi di Sacconi, Pigoli e Denis da sinistra. Se guardi il cerchio rosso, sembra che sia leggermente piegato in quell'area. Questo perché il raggio dell'arco cambia improvvisamente qui, ed è qui che esiste il punto di discontinuità. C'è anche un punto di discontinuità nel cerchio verde, ma il raggio è relativamente grande e la differenza di raggio tra i due archi in contatto non è grande, quindi questo non è evidente.
Figure 1: Un punto di discontinuità in C
⃝ Eccessiva curvatura nelle punte
Le punte sono creati unendo due archi di raggio diverso. Pertanto, la punta è piuttosto affilata. Nel lavoro della punta effettiva, la fascia deve essere curva e fissata, ma a causa dello spessore della fascia stessa, l'estremità della fascia non è completamente rotonda come progettato. Pertanto, l'estremità della fascia di uno strumento reale non è un arco perfetto, ma una linea leggermente piatta. In altre parole, si può affermare che la curvatura dell'estremità della punta è eccessiva rispetto allo strumento reale in tutti i cinque metodi sopra indicati.
Sopra, sono stati identificati cinque problemi comuni. Personalmente, l'esistenza di un punto di discontinuità e di curve innaturali sono percepiti come i problemi maggiori. Il problema che il processo è complesso e difficile può essere risolto con fatica, ma questo è un problema fondamentale con il metodo di disegno e non può essere risolto con fatica.
1.3. Metodo per Risolvere i Problemi dei Metodi di Disegno Esistenti
Tutti i problemi di cui sopra possono essere risolti nel modo seguente.
⃝ Processo di disegno difficile, difficoltà nel cambiamento parziale
Questi due problemi possono essere risolti se esiste un programma di automazione del disegno.
⃝ Punto di discontinuità, curva innaturale
Questo potrebbe essere risolto applicando la curva clotoide.
⃝ Difficoltà a cambiare linea, curvatura eccessiva nella punta
Come per la curva clotoide che collega due punti, se la direzione della curva nel punto iniziale e nel punto finale sono uguali, esiste una sola curva clotoide, quindi questi problemi non possono essere risolti con una semplice curva clotoide. In questo studio, questo problema verrà risolto concatenando più curve clotoidi (di seguito “curva multi-closoid”).
In altre parole, tutti i problemi esistenti possono essere risolti se esiste un programma di automazione che applica la curva multi-closoid.
Nel prossimo capitolo scopriremo cosa sono queste curve clotoidi e come applicarle al disegno del violino.
2. Metodo di Disegno Utilizzando la Curva Clotoide
2.1. Curva Clotoide
Nel dizionario, una curva clotoide indica una curva la cui curvatura aumenta all'aumentare della lunghezza della curva. In altre parole, è una curva in cui la curvatura della curva aumenta gradualmente e diventa sempre più arrotondata (detta anche spirale di Eulero, spirale di Cornu). - Figure 2 -
Figure 2: Curva Clotoide
Queste curve clotoidi sono utilizzate principalmente per tratti curvilinei di autostrade perché corrispondono alla traiettoria dell'auto quando il volante di un'auto che funziona a velocità costante viene ruotato a velocità costante. In Figure 3, la linea rossa è la curva clotoide. Prendendo un'autostrada come esempio, quando si entra in una strada circolare verde da una strada blu diritta, si riduce gradualmente il raggio di sterzata lungo la curva clotoide.
Figure 3: Curva Clotoide sull'autostrada
In matematica, è espresso dalle seguenti formule (1), (2), ecc.
2.2. Idee per Adattare le Curve Clotoidi ai Modelli di Violino
Il principio di base dell'applicazione della curva clotoide al disegno di un violino farebbe bene a fare riferimento alla spiegazione di Sergei Muratov. In 「The Art of the Violin Design ( http://zhurnal.lib.ru/m/muratow_s_w/violin_design.shtml 」, Sergei Muratov interpreta quasi tutte le curve del violino, inclusa la testa e la effe, così come il corpo del violino usando la curva clotoide. Penso che questo sia il metodo di analisi più realistico tra tutti. Figure 4 ( Estratto da http://zhurnal.lib.ru/m/muratow_s_w/violin_design.shtml ) è un modello clotoide di un corpo di violino interpretato da Sergei Muratov.
Figure 4: Disegno del violino di Sergei Muratov
Il motivo per cui il metodo di disegno di Sergei Muratov è descritto come "metodo di analisi" è perché è considerato più vicino a un metodo di analisi che a un metodo di disegno perché è vantaggioso interpretare un determinato disegno, ma è difficile progettare direttamente. Ad esempio, una curva dal punto C a F1 nella figura è costituita da una curva tracciata dal punto C a F1 e da una curva tracciata dal punto S a F1. Queste due curve si intersecano da qualche parte a metà strada tra i punti C e F1. Tuttavia, il problema è che è molto difficile specificare il punto in cui le due curve clotoidi si incontrano.
Allo stesso modo, la curva dal punto F1 a T, che è la linea di fondo dell'U-bout, è costituita da una curva da S a F1 e da una curva che parte dal centro tra F1 e T e si dirige verso T. È anche difficile specificare il punto in cui i due clotoidi si incontrano. Pertanto, per progettare effettivamente utilizzando una tale curva clotoide, è necessaria un'idea separata. Di seguito esamineremo due idee per risolvere questo problema.
2.2.1. Designazione Dei Punti di Controllo
Sapere esattamente dove si incontrano due curve clotoidi adiacenti è molto importante nel disegno del violino. In effetti, se non lo sai, non puoi fare nulla. Quando il punto in cui due curve si incontrano è chiamato "punto di controllo", dovrebbe essere possibile modificare le dimensioni e la forma dello strumento, come la lunghezza e la larghezza dello strumento, cambiando la posizione del punto di controllo.
Figure 5 descrive la posizione dei punti di controllo. Per determinare la lunghezza dello strumento, designarlo prima al centro superiore e inferiore (punti A, Z), quindi designarlo nel punto più largo del superiore/inferiore per determinare la larghezza dello strumento (punti U1, L1). Questi punti U1 e L1 influiscono sulla forma della curva e sulla larghezza del superiore/inferiore. Se la coordinata x di U1 viene lasciata così com'è e viene sollevata solo la coordinata y, cioè se il punto viene sollevato verticalmente, la forma del superiore sarà una forma più viva della spalla, e se è abbassato, la forma del superiore sarà arrotondata. (Se vuoi cambiare la forma della curva senza cambiare la posizione di U1, puoi cambiare la curvatura)
Figure 5: Designazione dei punti di controllo
Allo stesso modo, anche il punto più stretto di C è designato come punto di controllo (punto M1). Successivamente, ogni punta è anche designato come punto di controllo (punti X1, Y1). Infine, sulla curva dal punto più largo del superiore/inferiore alla punta, il punto in cui cambia la direzione della curva (giunto delle punte) viene impostato come punto di controllo (punti P1, Q1). Questo punto di controllo ha la stessa coordinata x della coordinata x della punta. Cioè, quando una linea perpendicolare viene tracciata dalla punta, diventa il punto in cui incontra la curva. I punti di controllo così impostati possono essere collegati con una curva clotoide.
2.2.2. Applicazione Della Curva Multiclosoidale
In quanto sopra, è stata specificata la posizione del punto di controllo. Quindi, se tutti questi punti di controllo sono collegati con una curva clotoide, dovrebbe essere disegnata la figura del violino. Ma la realtà non è così. Questo perché, quando si collegano due punti con una curva clotoide, se la direzione della curva in ogni punto è la stessa, c'è solo una curva clotoide che collega i due punti.
Ad esempio, esiste una curva clotoide che collega i punti A e B, come mostrato in Figure 6, (a). Questa curva inizia in direzione ovest in A e guarda verso sud quando arriva in B. Supponendo che le posizioni di A e B non cambino, se si cambia la direzione (angolo) da A o B, si può disegnare un numero infinito di curve clotoidi (Figure 6, (b)).
(a) Una curva clotoide
(b) Curve Closoid a diverse angolazioni
Figure 6: Curve Closoid che collegano il punto A al punto B
Sfortunatamente, nel disegno del violino, alcuni dei punti di controllo sopra definiti consentono solo una direzione (angolo) e alcuni consentono solo una gamma molto ristretta di modifiche dell'angolo, quindi non puoi aspettarti un aspetto corretto del violino.
In questo problema risolverò il problema utilizzando più curve clotoidi tra i due punti di controllo. Nello specifico, i due punti di controllo sono collegati collegando tre curve clotoidi. In questo modo è possibile creare curve di varie forme mantenendo gli angoli nei punti A e B. Figure 7 collega i punti A e B collegando tre curve clotoidi. (I tre Closoid sono espressi in colori diversi.)
Figure 7: Curva con 3 Closoid collegati
La connessione della curva closoid viene completata matematicamente utilizzando una tecnica chiamata "G2 l'interpolazione di Hermite(G2 Hermite interpolation)". (Se sei interessato a contenuti matematici, controlla Bibliografia)
Figure 8 mostra curve di varie forme senza cambiare la direzione (angolo) nei punti A e B utilizzando tre curve clotoidi(In questo rapporto sarà semplicemente indicato come "curva multiclosoide") a cui viene applicata 「G2 l'interpolazione di Hermite」.
Figure 8: Curve multiclosoidi che collegano il punto A al punto B nella stessa direzione
Utilizzando la curva multiclosoide tra tutti i punti di controllo, è possibile creare una linea morbida matematicamente ed esteticamente bella senza alcun punto di discontinuità. È anche possibile modificare la forma della curva senza modificare la posizione del punto di controllo.
3. Processo di Automazione Del Disegno di Violini Utilizzando Curve Multiclosoidi
La chiave più importante nella produzione di un programma di automazione per il disegno di violini è come implementare tre curve clotoidi a cui viene applicato nel programma il 「G2 l'interpolazione di Hermite」. Fortunatamente, c'è un bel modulo chiamato "pyclothoids" che lo rende facile da gestire.
Poiché i lati sinistro e destro del violino sono simmetrici, se disegni solo un lato su entrambi i lati, puoi completarlo facilmente specchiando l'altro lato. Completerò solo la linea sinistra del violino e rispecchierò il lato destro. Poiché le coordinate sono necessarie per visualizzare la linea nel programma, il punto centrale più basso della forma del violino è impostato come coordinate (x,y)=(0,0). E le curve verranno disegnate in sequenza dal punto centrale superiore della forma verso il basso.
Di seguito, vedremo come completare effettivamente il disegno della forma del violino nel programma. Come linguaggio di programmazione, viene utilizzato 「python3」 ed è richiesto il modulo pyclothoids sopra. (Il codice mostra solo il core.)
3.1. Designazione dei Punti di Controllo
Come accennato nel capitolo precedente, le dimensioni e la forma dello strumento sono determinate dalla posizione del punto di controllo. Pertanto, dovresti decidere in anticipo la dimensione dello strumento che desideri. In base alla dimensione, inserisci le coordinate xy del punto di controllo.
Innanzitutto, la dimensione dello strumento è stata impostata come Table 1. E inserisci le coordinate corrispondenti. Per riferimento, per un violino con una lunghezza del corpo di 355mm, la lunghezza e la larghezza della forma effettiva devono essere inserite in considerazione dello spessore e della larghezza del bordo. Ho ipotizzato che lo spessore della fascia fosse 1,2mm e la larghezza del bordo fosse 2,8 mm e la lunghezza totale della forma fosse impostata su 347mm ( = 355 - 2 * ( 1,2 + 2,8 ) ). Quando si impostano le coordinate di U1, che è il punto di controllo di U-bout, si noti che la coordinata x è la metà della larghezza del superiore e il segno è '-'. La casella di testo grigia sotto è il codice del programma.
Table 1: Determinazione della dimensione dello strumento
Ax = 0
Ay = 347
U1x = -160/2
U1y = 281.1
P1x = -148.6/2
P1y = 251.7
...3.2. Costruzione Della Curva Closoid
In linea di principio, la curva inizia sempre nel punto superiore e termina nel punto inferiore. Nel modulo pyclothoids, la funzione per disegnare tre curve clotoidi collegate richiede le coordinate di due punti e la direzione (angolo) e la curvatura in ciascun punto. La curvatura deve essere corretta inserendo '0' all'inizio e modificando il valore poco a poco.
Per le coordinate dei punti, inserire le coordinate dei punti impostate nel capitolo precedente. La direzione della curva definisce est come '0' gradi, ovest come 180 gradi (o -180 gradi), nord 90 gradi e sud come -90 gradi. La curvatura è un parametro che indica il grado di curvatura della curva clotoide e maggiore è la curvatura, maggiore è la curvatura. Modificando la direzione e la curvatura, è possibile disegnare varie forme di curve. Quando si imposta la curvatura, prestare attenzione al segno della curvatura. Se il segno di curvatura è '+', la curva è curva in senso antiorario e se il segno è '-', la curva è curva in senso orario.
Per le curve di A e U1, l'angolo nel punto A è 180 gradi (o -180 gradi), perché parte dal punto A verso ovest. L'angolo di U1 è -90 gradi in quanto è rivolto a sud. (non l'angolo di U1 guardando la curva (+90)).
Ci sono un totale di 8 sezioni sul lato sinistro della forma e 3 curve Closoid sono incluse in ogni sezione. Ogni curva clotoide verrà visualizzata in un colore diverso sul grafico. Il valore iniziale verrà completato inserendo un valore approssimativo, controllando direttamente il grafico e modificandolo poco a poco.
⃝ Sezione 1. : A ~ U1
La direzione del punto iniziale A è 180 gradi e la direzione del punto finale U1 è -90 gradi. Questi due valori sono fissi. Nel punto A, la curva deve essere orizzontale, quindi deve essere di 180 gradi, e poiché il punto U1 è il punto più largo di U-bout, la curva deve essere esattamente verticale in questo punto, quindi deve essere -90 gradi. Tutte le curvature sono impostate su '0' (il resto della sezione è lo stesso)
clothoid_1 = pc.SolveG2(Ax, Ay, pi, 0, U1x, U1y, -pi/2, 0)
for i in clothoid_1:
plt.plot( *i.SampleXY(500) )⃝ Sezione 2. : U1 ~ P1
La direzione del punto iniziale della seconda sezione deve essere la stessa della direzione del punto finale della prima sezione. Cioè, in U1, due curve clotoidi si incontrano e le direzioni delle due curve devono essere le stesse. In caso contrario, la curva verrà piegata a questo punto. Pertanto, la direzione di U1 deve essere -90 gradi. Nel punto P1, è orientato approssimativamente in direzione sud-sudest, quindi prima inserisci circa -70 gradi.
clothoid_2 = pc.SolveG2(U1x, U1y, -pi/2, 0, P1x, P1y, -70*pi/180, 0)
for i in clothoid_2:
plt.plot( *i.SampleXY(500) )⃝ Section 3. : P1 ~ X1
La direzione del punto iniziale della terza sezione deve essere la stessa della direzione del punto finale della seconda sezione. Pertanto, inserisci -70 gradi come sopra. In X1, il punto finale, è rivolto all'incirca a sud-sudovest, quindi inserisci -110 gradi (codice omesso di seguito).
⃝ Sezione 4. : X1 ~ M1
Poiché il punto iniziale della quarta sezione è una punta, non condivide una direzione con il punto finale della terza sezione. In X1, l'angolo è impostato a circa 10 gradi perché inizia nella direzione di circa nord-est. Il punto finale M1 è il punto più stretto di C, quindi deve essere verticale qui. Quindi l'angolo è -90 gradi.
⃝ Sezione 5. : M1 ~ Y1
Il punto iniziale della sezione 5 deve essere nella stessa direzione del punto finale della sezione 4. Quindi, inserisci -90 gradi. Al punto finale, è rivolto in direzione nord-ovest, quindi inseriamolo a 170 gradi.
⃝ Sezione 6. : Y1 ~ Q1
Il punto iniziale della sezione 6 non condivide una direzione con il punto finale della sezione 5. Poiché è rivolto a sud-sudest, inserisci -70 gradi e poiché il punto finale è sud-sudovest, inserisci -110 gradi.
⃝ Sezione 7. : Q1 ~ L1
Il punto di partenza della 7a sezione deve essere nella stessa direzione del punto finale della 6a sezione. Quindi, inserisci -110 gradi. Al punto finale, dovrebbe essere verticale, quindi inseriamo -90 gradi.
⃝ Sezione 8. : L1 ~ Z
Il punto di partenza dell'8a sezione deve essere nella stessa direzione del punto finale della 7a sezione. Quindi, inserisci -90 gradi. Il punto finale deve essere perfettamente orizzontale e rivolto a est, quindi inserisci '0' gradi.
Dopo aver completato l'input sopra e aver controllato il grafico, puoi vedere Figure 9.
Figure 9: Risultato
Sfortunatamente, sembra che non si possa ancora dire che sia un violino. Nel prossimo capitolo, cambierò l'angolo e la curvatura a poco a poco per renderlo più simile a un violino.
3.3. Correzione Delle Curve
Per ottenere la linea voluta, è necessario comprendere con precisione come cambia la curva in base ai parametri della direzione e della curvatura in due punti. In particolare, va notato che il pattern di cambiamento è diverso da quello di una curva monoclosoide in cui è fissato un solo punto finale, poiché questo rapporto è per "curva multi-closoide con entrambi i punti finali fissi".
3.3.1. Cambio di Curva in Base Alla Direzione (Angolo)
Non c'è confusione sull'angolo del punto iniziale, ma è necessario prestare attenzione con l'angolo nel punto finale. Se vuoi disegnare una curva come Figure 10, il punto iniziale A è rivolto a sud, quindi l'angolo sarà -90 gradi. Ma qual è l'angolo del punto finale B? Dal punto finale, la curva è a sud-est, quindi circa -45 gradi?
Non come quello. Dovrebbe essere sempre basato sulla direzione della curva. La curva parte dal punto di partenza A verso sud, cambia gradualmente in direzione ovest, e al punto finale B, si ferma nello stato verso la direzione nord-ovest. Pertanto, la direzione del punto finale è nord-ovest. Quindi l'angolo al punto finale B è 135 gradi.
Figure 10: Angolo al punto finale
3.3.2. Cambio di Curva Secondo il Segno di Curvatura
Come accennato in precedenza, se il valore di curvatura è '+', la curva è curva in senso antiorario e se il valore è '-', la curva è curva in senso orario. Figure 11 mostra la stessa curva con solo la curvatura nel punto iniziale A modificata. Poiché solo il segno di curvatura del punto iniziale è diverso quando il punto iniziale e il punto finale sono fissi, uno curva in senso orario e l'altro in senso antiorario subito dopo il punto iniziale A.
Figure 11: Curvatura di A = -0,2 (sinistra), 0 (centro), +0,2 (destra)
3.3.3. CCambio di Curva in Base all'Ampiezza Della Curvatura
Quando il "valore assoluto" della curvatura è piccolo (valore minimo = 0), la curva curva gradualmente e quando il valore assoluto della curvatura è grande, la curva curva rapidamente. Figure 12 mostra che il punto iniziale A ha la stessa curvatura e il punto finale B ha curvature diverse. La curva di sinistra con una curvatura di 0,4 è molto curva vicino al punto finale B. Si noti che la lunghezza della curva clotoide si riduce all'aumentare del valore assoluto della curvatura (linea rossa nella curva di sinistra). Questo è particolarmente importante da ricordare poiché avrà un enorme impatto sul disegno delle punte.
Figure 12: Curvatura in B = 0,4 (sinistra), 0 (destra)
Se la grandezza del valore assoluto della curvatura è maggiore di '1', la curva clotoide adiacente a quel punto diventa molto corta e assomiglia a due curve clotoidi invece di tre clotoidi. Osservando Figure 13, ci sono 3 curve clotoidi (verde, azzurro, viola) sulla curva superiore di C in (a). Tuttavia, in (b), la curva verde attaccata alla punta è appena visibile. Tuttavia, in realtà, ci sono ancora tre curve clotoidi. (c) è un'area ingrandita vicino all'apice di (b), e si può vedere che la lunghezza della curva verde è ridotta a circa 0,6mm. Pertanto, se si desidera progettare con solo due curve clotoidi anziché tre, in teoria, sarebbe possibile aumentare all'infinito la curvatura del punto iniziale o del punto finale. Nel caso di questo programma, se la curvatura è maggiore di circa 10, la corrispondente curva clotoide diventa poco appariscente.
(a) Curvatura = −0.07
(b) Curvatura = −1
(c) Ingrandimento dell'immagine (b)
Figure 13: Modifica della curva in base all'ampiezza della curvatura
Quando si progetta una punta, utilizzando le proprietà di cui sopra, l'area della punta può essere leggermente appiattita o arrotondata. Figure 14 mostra come cambia la curva vicino alla punta (verde) cambiando la curvatura della curva superiore di C.
(a) Curvatura = 0
(b) Curvatura = −0.1
Figure 14: Deformazione curva della punta
3.3.4. Effetto Della Grandezza Della Curvatura Sulla Direzione (Angolo)
Esaminiamo nuovamente Figure 13. (a) e (b) mostrano che l'angolo della curva superiore di C è lo stesso e solo la curvatura è diversa. Tuttavia, anche se viene immesso lo stesso angolo, i due angoli sono diversi ad occhio nudo. Tuttavia, se ingrandisci (b), puoi vedere che l'angolo del punto iniziale è lo stesso. In altre parole, all'aumentare della dimensione della curvatura, la curva diventa più curva e più corta, quindi sembra che l'angolo sia cambiato se visto macroscopicamente. Questo fenomeno significa che quando la curvatura viene aumentata nel disegno della punta sopra descritto, anche l'angolo deve essere modificato in considerazione di esso.
4. Risultati Progettuali e Modifiche Parziali
Figure 15 è il disegno finito della forma del violino creata usando i valori di Table 2.
Table 2: Parametro
Figure 15: Disegno finito
Una bellissima linea di Form è stata completata. Le linee eccellenti possono essere ottenute solo correggendo l'angolo e la curvatura..
Ora apportiamo le correzioni menzionate nel capitolo precedente. Lascia le altre parti così come sono e prova ad allargare la larghezza di C di 2mm ciascuna a sinistra ea destra. In questo caso è sufficiente allargare di 2mm il punto di controllo M1 che indica la posizione più stretta del C . In altre parole, devi solo spostare le coordinate di M1 a sinistra di 2. Di conseguenza, il disegno rivisto viene ampliato di un totale di 4 mm a destra ea sinistra.
- Figure 16 -
Figure 16: C ampliato
Confrontiamo i risultati prima e dopo l'allargamento del C. Come si può vedere da Figure 17, le altre parti non sono cambiate affatto, solo la larghezza del C è stata allargata. E si può vedere che la curva di C è stata modificata di conseguenza.
Figure 17: Confronto prima e dopo l'espansione C
Facendo un ulteriore passo avanti, questa volta rendiamo le spalle e i fianchi leggermente inclinati. Figure 18 mostra che le curvature dei punti A e Z sono impostate a '0' e le curvature dei punti U1 e L1 sono leggermente abbassate.
Figure 18: Modello con spalle e fianchi modificati
Confrontiamo la forma della spalla e dei fianchi con l'aspetto prima della modifica. - Figure 19 -
Figure 19: Confronto prima e dopo la correzione di spalla e anca
Infine, confrontiamo questo con l'originale. - Figure 20 -
Figure 20: Confronto tra disegno iniziale e finale
5. Conclusioni e Considerazioni
Finora, abbiamo visto i problemi dei metodi di disegno esistenti e che il disegno della forma del violino può essere completato utilizzando tre curve clotoidi collegate applicando G2 l'interpolazione di Hermite e modifiche parziali possono essere eseguite molto facilmente. Questo metodo può essere applicato ugualmente al disegno non solo del violino ma anche della viola e del violoncello modificando solo il numero.
Il programma completo (Figure 21) e il manuale utente possono essere scaricati dal mio sito Web (http://www.hisviolins.com).
Figure 21: Violin Designer, v.2.3.0
Bibliografia
[1] E. Bertolazzi and M. Frego, “On the g2 hermite interpolation problem with clothoids.”,
Journal of Computational and Applied Mathematics, no. 341, pp. 99–116, 2018.
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